数学中，泰勒公式是一个用函式在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函式足够平滑的话，在已知函式在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做係数构建一个多项式来近似函式在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函式值之间的偏差。
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，儘管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年之前，最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。
基本介绍
- 中文名：泰勒公式
- 外文名：Taylor's formula
- 提出者：泰勒
- 定义：用函式在信息描述其附近取值
- 特例：麦克劳林级数、拉格朗日定理
- 套用学科：数学、物理
历史发展
泰勒简介
18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor），于1685年8月18日在英格兰德尔塞克斯郡的埃德蒙顿市出生。1701年，泰勒进剑桥大学的圣约翰学院学习。1709年后移居伦敦，获得法学学士学位。1712年当选为英国皇家学会会员，同年进入促裁牛顿和莱布尼兹发明微积分优先权争论的委员会。并于两年后获法学博士学位。从1714年起担任皇家学会第一秘书，1718年以健康为由辞去这一职务。1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。最后在1731年12月29日于伦敦逝世。
泰勒以微积分学中将函式展开成无穷级数的定理着称于世。这条定理大致可以叙述为：函式在一个点的邻域内的值可以用函式在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来。然而，在半个世纪里，数学家们并没有认识到泰勒定理的重大价值。这一重大价值是后来由拉格朗日发现的，他把这一定理刻画为微积分的基本定理。泰勒定理的严格证明是在定理诞生一个世纪之后，由柯西给出的。
泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变数函式都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者。泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理问题之套用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要。他透过求解方程导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先河。此外，此书还包括了他于数学上之其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率问题之研究等。
发展过程
希腊哲学家芝诺在考虑利用无穷级数求和来得到有限结果的问题时，得出不可能的结论-芝诺悖论，这些悖论中最着名的两个是“阿喀琉斯追乌龟”和“飞矢不动”。
后来，亚里士多德对芝诺悖论在哲学上进行了反驳，直到德谟克利特以及后来的阿基米德进行研究，此部分数学内容才得到解决。阿基米德套用穷举法使得一个无穷级数能够被逐步的细分，得到了有限的结果。
14世纪，玛达瓦发现了一些特殊函式，包括正弦、余弦、正切、反正切等三角函式的泰勒级数。
17世纪，詹姆斯·格雷果里同样继续着这方面的研究，并且发表了若干麦克劳林级数。直到1712年，英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒提出了一个通用的方法，这就是为人们所熟知的泰勒级数；爱丁堡大学的科林·麦克劳林教授发现了泰勒级数的特例，称为麦克劳林级数。
公式形式
泰勒公式形式
泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函式f（x）利用关于（x-x0）的n次多项式来逼近函式的方法。
若函式f（x）在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：
其中，表示f（x）的n阶导数，等号后的多项式称为函式f（x）在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn（x）是泰勒公式的余项，是（x-x0）n的高阶无穷小。
泰勒公式余项
泰勒公式的余项Rn（x）可以写成以下几种不同的形式：
1、佩亚诺（Peano）余项：
这里只需要n阶导数存在。
2、施勒米尔希-罗什（Schlomilch-Roche）余项：
其中θ∈（0,1），p为任意正实数。（注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项）
3、拉格朗日（Lagrange）余项：
其中θ∈（0,1）。
4、柯西（Cauchy）余项：
其中θ∈（0,1）。
5、积分余项：
其中以上诸多余项事实上很多是等价的。
带佩亚诺余项
以下列举一些常用函式的泰勒公式：
验证推导
公式推导
我们知道，根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有：
于是：
其中误差α是在Δx→0即x→x0的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确。于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：
来近似地表示函式f（x）且要写出其误差f（x）-P（x）的具体表达式。设函式P（x）满足：
于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An，显然有：
至此，多项的各项係数都已求出，得：
以上就是函式的泰勒展开式。
接下来就要求误差的具体表达式了。设，令得到：
进而：
根据柯西中值定理：
其中θ1在x和x0之间；
继续使用柯西中值定理得到：
其中θ2在θ1和x0之间；
连续使用n+1次后得到：
其中θ在x和x0之间；
同时：
而：
进而：
综上可得：
一般来说展开函式时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn（x）写为Rn。
麦克劳林展开
函式的麦克劳林展开指上面泰勒公式中x0取0的情况，即是泰勒公式的特殊形式，若f（x）在x=0处n阶连续可导，则下式成立：
其中表示f（x）的n阶导数。
当
,其中δ在0与x之间时，公式称为拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式。
当
, 且n阶导数存在时，公式称为带佩亚诺型的n阶麦克劳林公式。
近似表达正弦函式公式套用
实际套用中，泰勒公式需要截断，只取有限项，一个函式的有限项的泰勒级数叫做泰勒展开式。泰勒公式的余项可以用于估算这种近似的误差。
泰勒展开式的重要性体现在以下五个方面：
1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函式相对比较容易。
2、一个解析函式可被延伸为一个定义在複平面上的一个开片上的解析函式，并使得複分析这种手法可行。
3、泰勒级数可以用来近似计算函式的值，并估计误差。
4、证明不等式。
5、求待定式的极限。
实例
例1、在x=0处展开三角函式y=sinx和y=cosx。
解：根据导数表得：
显然y=sinx在x=0处具有任意阶导数。
根据麦克劳林公式：
类似地，可以展开y=cosx。
例2、计算近似值，并估计误差。
解：对指数函式运用麦克劳林展开式并捨弃余项：
当x=1时：
取n=10，即可算出近似值e≈2.7182818。
误差为
例3、欧拉公式：
（其中，即一个虚数单位）
证明：
由于在实数範围以内，
将该式子扩展到複数系内以定义指数函式，得到
特别地，当上式z=ib时，有
把上面的b换成x，就得到了欧拉公式。
由欧拉公式，对任意一个複数z=a+ib，有
即複数z的指数函式依然是一个複数，这个複数的模r=ea，幅角θ=b。
若b=0，则ez=ea（cos0+isin0）=ea（1+0）=ea，与实变函式f（x）=ex在x=a时的函式值相同。