《泛函分析教程（第二版）》是2008年2月复旦大学出版社出版的图书，作者是童裕孙。
基本介绍
- 书名：泛函分析教程（第二版）
- 作者：童裕孙
- ISBN：978-7-309-03765-4
- 页数：303页
- 定价：29.00元
- 出版时间：2008年2月
- 装帧：平装
- 开本：16开
内容提要
本书是研究生泛函分析教材.全书共7章，以概述线性泛函分析的基本理论为入口，分别介绍了Banach空间上紧运算元和Fredˉholm运算元、Banach代数、C ˇ 代数初步和H ilbert空间上正规运算元的谱分析、无界运算元、运算元半群、无限维空间上的微分学、拓扑度理论等.本书既注意以现代数学的观点统率各章节内容，突出泛函分析中重要的基本理论，也精选了在套用中受到普遍关注的若干题材，同时还配备了一定数量的难易不等的习题，以利读者加深理解，启发思考.
图书目录
第一章 线性泛函分析基础
§1．1拓扑空间
1．1．1拓扑空间的概念
1．1．2网
1．1．3连续映射
1．1．4距离空间
1．1．5距离空间的完备性
§1．2拓扑线性空间
1．2．1拓扑线性空间的概念
1．2．2赋準范线性空间
1．2．3赋范线性空间
1．2．4内积空间
1．2．5一致凸空间和严格凸空间
§1．3紧性
1．3．1紧集的概念
1．3．2紧集上的连续映射
1．3．3Zorn引理
1．3．4紧空间的乘积空间
1．3．5Stone Weierstrass定理
1．3．6距离空间中的列紧集与完全有界集
1．3．7有限维赋范线性空间的特徵
1．3．8Banach Alaoglu定理
1．3．9Hilbert空间单位球的弱紧性
§1．4Hahn-Banach定理及其几何形式
1．4．1线性空间上线性泛函的延拓
1．4．2赋范线性空间上连续线性泛函的延拓
1．4．3自反空间
1．4．4连续线性泛函保范延拓的唯一性
1．4．5凸集的分离性
1．4．6端点、Krein-Milman定理
§1．5线性运算元基本定理
1．5．1开映射定理
1．5．2逆运算元定理和範数等价定理
1．5．3闭图像定理
1．5．4共鸣定理
1．5．5套用
1．5．6Schauder基
1．5．7点列的收敛性
1．5．8泛函序列和运算元序列的收敛性
习题
第二章 谱论Ⅰ：Banach空间上的紧运算元及Fredholm运算元
§2．1Banach代数中元素的谱
2．1．1代数和理想
2．1．2赋范代数
2．1．3Banach代数中元素的谱
§2．2线性运算元的谱
2．2．1线性运算元谱的概念
2．2．2线性运算元谱的分类
2．2．3近似谱点
2．2．4共轭运算元及共轭运算元的谱
§2．3紧运算元
2．3．1有限秩运算元
2．3．2紧运算元的概念
2．3．3紧运算元的Riesz-Schauder理论
2．3．4Banach空间的直和分解
2．3．5紧运算元的Riesz-Schauder理论（续）
§2．4Fredholm运算元
2．4．1Fredholm运算元的概念
2．4．2Fredholm运算元的性质
习题
第三章 谱论Ⅱ：Hilbert空间上的正规运算元
§3．1Banach代数的Gelfand表示
3．1．1可乘线性泛函
3．1．2Gelfand表示
3．1．3极大理想空间
§3．2C*代数
3．2．1C*代数的概念
3．2．2C*代数中的正规元
3．2．3Gelfand Naimark定理
3．2．4GNS构造
§3．3谱测度和谱积分
3．3．1投影运算元
3．3．2谱测度与谱积分
3．3．3谱系
§3．4Hilbert空间上正规运算元的谱分解
3．4．1谱定理与函式演算
3．4．2函式演算的扩充
3．4．3正规运算元的谱分解定理
3．4．4正规运算元的谱
3．4．5Hilbert空间上紧运算元的结构
3．4．6正规运算元的本质谱
3．4．7von Neumann代数
习题
第四章 无界运算元
§4．1对称运算元和自伴运算元
4．1．1稠定运算元的共轭运算元
4．1．2对称运算元与自伴运算元的概念
4．1．3运算元的图像
4．1．4对称运算元为自伴运算元的条件
4．1．5自伴运算元的谱
4．1．6Cayley变换
4．1．7无界函式的谱积分
4．1．8自伴运算元的谱分解定理
4．1．9L2（－∞， +∞）上的乘法运算元
§4．2对称运算元的自伴扩张
4．2．1闭对称运算元的亏指数
4．2．2正定双线性泛函
4．2．3半有界运算元的Friedrichs扩张定理
§4．3自伴运算元的扰动
4．3．1可闭运算元的扰动
4．3．2自伴运算元的扰动
4．3．3自伴运算元在扰动下的谱
§4．4无界运算元序列的收敛性
4．4．1预解意义下的收敛性
4．4．2图意义下的收敛性
习题
第五章 运算元半群
§5．1向量值函式
5．1．1向量值函式的连续性
5．1．2向量值函式的可导性
5．1．3向量值函式的Riemann积分
5．1．4向量值函式的可测性
5．1．5强可测与弱可测的关係
5．1．6运算元值可测函式
§5．2Bochner积分和Pettis积分
5．2．1Pettis积分
5．2．2Bochner积分
5．2．3Bochner积分的性质
§5．3运算元半群的概念
5．3．1运算元半群概念的由来
5．3．2C0类运算元半群
5．3．3运算元半群的一些例子
§5．4C0类运算元半群的表示
5．4．1C0类运算元半群无穷小母元的概念
5．4．2无穷小母元的预解式
5．4．3C0类运算元半群的表示
§5．5无穷小母元的特徵
5．5．1C0类运算元半群无穷小母元的特徵
5．5．2标準型C0类运算元半群母元的特徵
5．5．3C0类压缩半群母元的特徵
5．5．4Hilbert空间上C0类压缩半群母元的特徵
§5．6单参数酉运算元群、 Stone定理
5．6．1单参数运算元群的无穷小母元
5．6．2Stone定理
5．6．3Stone定理的套用：Bochner定理
§5．7遍历定理
5．7．1相空间上的保测变换
5．7．2Boltzmann遍历假设
5．7．3不可压缩稳定流
5．7．4遍历定理
5．7．5变换群的遍历性
习题
第六章 无穷维空间的微分学
§6．1映射的微分
6．1．1G teaux微分
6．1．2Frèchet微分
6．1．3高阶导数
6．1．4Taylor公式
6．1．5幂级数
§6．2隐函式定理
6．2．1Cp映射与微分同胚
6．2．2隐函式的存在性
6．2．3隐函式的可微性
§6．3泛函极值
6．3．1线性方程的解与二次泛函的极小问题
6．3．2泛函极值的必要条件
6．3．3泛函极值的存在性：下半弱连续条件
6．3．4最速下降法
6．3．5泛函极值的存在性：Palais-Smale条件
习题
第七章 拓扑度
§7．1Brouwer度
7．1．1C1类映射的拓扑度（非临界点情形）
7．1．23个引理
7．1．3C1类映射的拓扑度（一般情形）人
7．1．4Brouwer度
7．1．5Brouwer度的性质
§7．2Leray Schauder度
7．2．1一个例子
7．2．2全连续映射
7．2．3Leray-Schauder度的定义
7．2．4Leray-Schauder度的性质
§7．3不动点定理及其套用
7．3．1Brouwer不动点定理
7．3．2Schauder不动点定理
7．3．3非紧性测度
7．3．4集压缩映射的不动点
7．3．5Kakutani不动点定理
7．3．6套用：代数学基本定理
7．3．7套用：不变子空间
7．3．8套用：对策论基本定理
习题
参考文献
§1．1拓扑空间
1．1．1拓扑空间的概念
1．1．2网
1．1．3连续映射
1．1．4距离空间
1．1．5距离空间的完备性
§1．2拓扑线性空间
1．2．1拓扑线性空间的概念
1．2．2赋準范线性空间
1．2．3赋范线性空间
1．2．4内积空间
1．2．5一致凸空间和严格凸空间
§1．3紧性
1．3．1紧集的概念
1．3．2紧集上的连续映射
1．3．3Zorn引理
1．3．4紧空间的乘积空间
1．3．5Stone Weierstrass定理
1．3．6距离空间中的列紧集与完全有界集
1．3．7有限维赋范线性空间的特徵
1．3．8Banach Alaoglu定理
1．3．9Hilbert空间单位球的弱紧性
§1．4Hahn-Banach定理及其几何形式
1．4．1线性空间上线性泛函的延拓
1．4．2赋范线性空间上连续线性泛函的延拓
1．4．3自反空间
1．4．4连续线性泛函保范延拓的唯一性
1．4．5凸集的分离性
1．4．6端点、Krein-Milman定理
§1．5线性运算元基本定理
1．5．1开映射定理
1．5．2逆运算元定理和範数等价定理
1．5．3闭图像定理
1．5．4共鸣定理
1．5．5套用
1．5．6Schauder基
1．5．7点列的收敛性
1．5．8泛函序列和运算元序列的收敛性
习题
第二章 谱论Ⅰ：Banach空间上的紧运算元及Fredholm运算元
§2．1Banach代数中元素的谱
2．1．1代数和理想
2．1．2赋范代数
2．1．3Banach代数中元素的谱
§2．2线性运算元的谱
2．2．1线性运算元谱的概念
2．2．2线性运算元谱的分类
2．2．3近似谱点
2．2．4共轭运算元及共轭运算元的谱
§2．3紧运算元
2．3．1有限秩运算元
2．3．2紧运算元的概念
2．3．3紧运算元的Riesz-Schauder理论
2．3．4Banach空间的直和分解
2．3．5紧运算元的Riesz-Schauder理论（续）
§2．4Fredholm运算元
2．4．1Fredholm运算元的概念
2．4．2Fredholm运算元的性质
习题
第三章 谱论Ⅱ：Hilbert空间上的正规运算元
§3．1Banach代数的Gelfand表示
3．1．1可乘线性泛函
3．1．2Gelfand表示
3．1．3极大理想空间
§3．2C*代数
3．2．1C*代数的概念
3．2．2C*代数中的正规元
3．2．3Gelfand Naimark定理
3．2．4GNS构造
§3．3谱测度和谱积分
3．3．1投影运算元
3．3．2谱测度与谱积分
3．3．3谱系
§3．4Hilbert空间上正规运算元的谱分解
3．4．1谱定理与函式演算
3．4．2函式演算的扩充
3．4．3正规运算元的谱分解定理
3．4．4正规运算元的谱
3．4．5Hilbert空间上紧运算元的结构
3．4．6正规运算元的本质谱
3．4．7von Neumann代数
习题
第四章 无界运算元
§4．1对称运算元和自伴运算元
4．1．1稠定运算元的共轭运算元
4．1．2对称运算元与自伴运算元的概念
4．1．3运算元的图像
4．1．4对称运算元为自伴运算元的条件
4．1．5自伴运算元的谱
4．1．6Cayley变换
4．1．7无界函式的谱积分
4．1．8自伴运算元的谱分解定理
4．1．9L2（－∞， +∞）上的乘法运算元
§4．2对称运算元的自伴扩张
4．2．1闭对称运算元的亏指数
4．2．2正定双线性泛函
4．2．3半有界运算元的Friedrichs扩张定理
§4．3自伴运算元的扰动
4．3．1可闭运算元的扰动
4．3．2自伴运算元的扰动
4．3．3自伴运算元在扰动下的谱
§4．4无界运算元序列的收敛性
4．4．1预解意义下的收敛性
4．4．2图意义下的收敛性
习题
第五章 运算元半群
§5．1向量值函式
5．1．1向量值函式的连续性
5．1．2向量值函式的可导性
5．1．3向量值函式的Riemann积分
5．1．4向量值函式的可测性
5．1．5强可测与弱可测的关係
5．1．6运算元值可测函式
§5．2Bochner积分和Pettis积分
5．2．1Pettis积分
5．2．2Bochner积分
5．2．3Bochner积分的性质
§5．3运算元半群的概念
5．3．1运算元半群概念的由来
5．3．2C0类运算元半群
5．3．3运算元半群的一些例子
§5．4C0类运算元半群的表示
5．4．1C0类运算元半群无穷小母元的概念
5．4．2无穷小母元的预解式
5．4．3C0类运算元半群的表示
§5．5无穷小母元的特徵
5．5．1C0类运算元半群无穷小母元的特徵
5．5．2标準型C0类运算元半群母元的特徵
5．5．3C0类压缩半群母元的特徵
5．5．4Hilbert空间上C0类压缩半群母元的特徵
§5．6单参数酉运算元群、 Stone定理
5．6．1单参数运算元群的无穷小母元
5．6．2Stone定理
5．6．3Stone定理的套用：Bochner定理
§5．7遍历定理
5．7．1相空间上的保测变换
5．7．2Boltzmann遍历假设
5．7．3不可压缩稳定流
5．7．4遍历定理
5．7．5变换群的遍历性
习题
第六章 无穷维空间的微分学
§6．1映射的微分
6．1．1G teaux微分
6．1．2Frèchet微分
6．1．3高阶导数
6．1．4Taylor公式
6．1．5幂级数
§6．2隐函式定理
6．2．1Cp映射与微分同胚
6．2．2隐函式的存在性
6．2．3隐函式的可微性
§6．3泛函极值
6．3．1线性方程的解与二次泛函的极小问题
6．3．2泛函极值的必要条件
6．3．3泛函极值的存在性：下半弱连续条件
6．3．4最速下降法
6．3．5泛函极值的存在性：Palais-Smale条件
习题
第七章 拓扑度
§7．1Brouwer度
7．1．1C1类映射的拓扑度（非临界点情形）
7．1．23个引理
7．1．3C1类映射的拓扑度（一般情形）人
7．1．4Brouwer度
7．1．5Brouwer度的性质
§7．2Leray Schauder度
7．2．1一个例子
7．2．2全连续映射
7．2．3Leray-Schauder度的定义
7．2．4Leray-Schauder度的性质
§7．3不动点定理及其套用
7．3．1Brouwer不动点定理
7．3．2Schauder不动点定理
7．3．3非紧性测度
7．3．4集压缩映射的不动点
7．3．5Kakutani不动点定理
7．3．6套用：代数学基本定理
7．3．7套用：不变子空间
7．3．8套用：对策论基本定理
习题
参考文献