自激点过程(self-exciting point process)是一类强度可以依赖于过程自身历史的点过程.齐次泊松过程的强度是一常数，如果允许强度随时间t改变就得到带时倚强度的泊松过程。如果再允许强度在任一时刻t的值除了依赖于t之外，还与过程在这时刻的点数N(t)有关，则得到的是非齐次纯生过程。现在，若进一步假设过程在任一时刻t的强度除了依赖于t和N(t)之外，还可能与在时刻t前发生的N(t)个点的位置有关，换句话说，依赖于过程在时刻t之前(包含t)的全部历史，于是就得到更广泛一类的点过程——自激点过程。
基本介绍
- 中文名：自激点过程
- 外文名：self-exciting point process
- 所属学科：数学
- 所属问题：随机过程
- 相关概念：计数过程、样本分布、联合分布等
自激点过程的定义
在数学上，自激点过程被定义为满足下述条件的计数过程
：对任意实数
和
，
注意自激点过程的强度λ不仅随时间t变化，而且还是过程的现实ω的函式，即强度本身是一随机过程，但它受点过程自身的演化制约。
如果计数过程
满足：
且对于小时间h有
自激点过程
称为m-记忆的，如果
最简单的是
的情形，这是无记忆(0-记忆)的自激点过程情形，即下面的定义。
定义1计数过程 称为无记忆的自激点过程，如果 满足:
且存在正值函式
使对于小的h有
例1年龄
的
个人的群体在时刻
以前的死亡人数(死亡计数过程)
可以用无记忆的自激点过程建模，其强度过程为
其中
是年龄为
的死亡率，
无记忆的自激点过程的有限维分布
无记忆的自激点过程 在有限个时刻上的联合分布为: 对于
整数
自激点过程的条件强度过程
定义2
于是，对于自激点过程有
自激点过程的绝对机率
仿照初等机率论中Poisson过程的绝对机率的推导，可以得到
命题1 自激点过程的绝对机率满足如下的(常微分方程组)
