贝叶斯定理是关于随机事件A和B的条件机率（或边缘机率）的一则定理。其中P(A|B)是在B发生的情况下A发生的可能性。
贝叶斯定理也称贝叶斯推理，早在18世纪，英国学者贝叶斯(1702～1763)曾提出计算条件机率的公式用来解决如下一类问题：假设H[1],H[2]…,H[n]互斥且构成一个完全事件，已知它们的机率P(H[i]),i=1,2,…,n,现观察到某事件A与H[1],H[2]…,H[n]相伴随机出现，且已知条件机率P(A|H[i])，求P(H[i]|A)。
基本介绍
- 中文名：贝叶斯定理
- 外文名：Bayes' theorem
- 别称：托马斯·贝叶斯定理
- 表达式：P(A|B)=P(A)P(B|A)/P(B)
- 提出者：英国学者贝叶斯
- 提出时间：18世纪
- 套用学科：数学
- 适用领域範围：机率论
研究意义
人们根据不确定性信息作出推理和决策需要对各种结论的机率作出估计，这类推理称为机率推理。机率推理既是机率学和逻辑学的研究对象，也是心理学的研究对象，但研究的角度是不同的。机率学和逻辑学研究的是客观机率推算的公式或规则；而心理学研究人们主观机率估计的认知加工过程规律。贝叶斯推理的问题是条件机率推理问题，这一领域的探讨对揭示人们对机率信息的认知加工过程与规律、指导人们进行有效的学习和判断决策都具有十分重要的理论意义和实践意义。
定理定义
贝叶斯公式（发表于1763年）为：
这就是着名的“贝叶斯定理”，一些文献中把P(B[1])、P(B[2])称为基础机率，P(A│B[1])为击中率，P(A│B[2])为误报率[1]。
套用例子
吸毒者检测
贝叶斯定理在检测吸毒者时很有用。假设一个常规的检测结果的敏感度与可靠度均为99%，也就是说，当被检者吸毒时，每次检测呈阳性（+）的机率为99%。而被检者不吸毒时，每次检测呈阴性（-）的机率为99%。从检测结果的机率来看，检测结果是比较準确的，但是贝叶斯定理却可以揭示一个潜在的问题。假设某公司将对其全体雇员进行一次鸦片吸食情况的检测，已知0.5%的雇员吸毒。我们想知道，每位医学检测呈阳性的雇员吸毒的机率有多高？令“D”为雇员吸毒事件，“N”为雇员不吸毒事件，“+”为检测呈阳性事件。可得
- P(D)代表雇员吸毒的机率，不考虑其他情况，该值为0.005。因为公司的预先统计表明该公司的雇员中有0.5%的人吸食毒品，所以这个值就是D的先验机率。
- P(N)代表雇员不吸毒的机率，显然，该值为0.995，也就是1-P(D)。
- P(+|D)代表吸毒者阳性检出率，这是一个条件机率，由于阳性检测準确性是99%，因此该值为0.99。
- P(+|N)代表不吸毒者阳性检出率，也就是出错检测的机率，该值为0.01，因为对于不吸毒者，其检测为阴性的机率为99%，因此，其被误检测成阳性的机率为1-99%。
- P(+)代表不考虑其他因素的影响的阳性检出率。该值为0.0149或者1.49%。我们可以通过全机率公式计算得到：此机率 = 吸毒者阳性检出率（0.5% x 99% = 0.00495)+ 不吸毒者阳性检出率（99.5% x 1% = 0.00995)。P(+）=0.0149是检测呈阳性的先验机率。用数学公式描述为：
- 根据上述描述，我们可以计算某人检测呈阳性时确实吸毒的条件机率P(D|+)：
P(D|+) = P(+|D)P(D)/(P(+|D)P(D)+P(+|N)P(N))=0.99 *0.005/0.0149=0.332215
儘管我们的检测结果可靠性很高，但是只能得出如下结论：如果某人检测呈阳性，那幺此人是吸毒的机率只有大 约33%，也就是说此人不吸毒的可能性比较大。我们测试的条件（本例中指D，雇员吸毒）越难发生，发生误判的可能性越大。
但如果让此人再次复检（相当于P(D)=33.2215%，为吸毒者机率，替换了原先的0.5%），再使用贝叶斯定理计算，将会得到此人吸毒的机率为98.01%。但这还不是贝叶斯定理最强的地方，如果让此人再次复检，再重複使用贝叶斯定理计算，会得到此人吸毒的机率为99.98%（99.9794951%）已经超过了检测的可靠度。
投资决策
贝叶斯定理用于投资决策分析是在已知相关项目B的资料，而缺乏论证项目A的直接资料时，通过对B项目的有关状态及发生机率分析推导A项目的状态及发生机率。如果我们用数学语言描绘，即当已知事件Bi的机率P（Bi）和事件Bi已发生条件下事件A的机率P（A│Bi），则可运用贝叶斯定理计算出在事件A发生条件下事件Bi的机率P（Bi│A）。按贝叶斯定理进行投资决策的基本步骤是：
1 列出在已知项目B条件下项目A的发生机率，即将P（A│B）转换为 P（B│A）；
2 绘製树型图；
3 求各状态结点的期望收益值，并将结果填入树型图；
4 根据对树型图的分析，进行投资项目决策。
其他套用
搜寻巨人Google和Autonomy，一家出售信息恢复工具的公司，都使用了贝叶斯定理（Bayesian principles）为数据搜寻提供近似的（但是技术上不确切）结果。研究人员还使用贝叶斯模型来判断症状和疾病之间的相互关係，创建个人机器人，开发能够根据数据和经验来决定行动的人工智慧设备。
贝叶斯
贝叶斯(1701年—1761年) Thomas Bayes，英国数学家。1701年出生于伦敦，做过神父。1742年成为英国皇家学会会员。1761年4月7日逝世。贝叶斯在数学方面主要研究机率论。他首先将归纳推理法用于机率论基础理论，并创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函式、统计推断、统计的估算等做出了贡献。1763年由Richard Price整理髮表了贝叶斯的成果《An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances》，对于现代机率论和数理统计都有很重要的作用。贝叶斯的另一着作《机会的学说概论》发表于1758年。贝叶斯所採用的许多术语被沿用至今。