在数学中，泰勒级数（英语：Taylor series）用无限项连加式——级数来表示一个函式，这些相加的项由函式在某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克·泰勒（Sir Brook Taylor）的名字来命名的。通过函式在自变数零点的导数求得的泰勒级数又叫做迈克劳林级数，以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。 泰勒级数在近似计算中有重要作用。
基本介绍
- 中文名：泰勒级数
- 外文名：Taylor series
- 发表者：布鲁克·泰勒
- 发表时间：1715年
- 早期中文译名：台劳级数
- 分类：数学
简介
在数学中，泰勒级数（英语：Taylor series）用无限项连加式——级数来表示一个函式，这些相加的项由函式在某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克·泰勒（Sir Brook Taylor）的名字来命名的。通过函式在自变数零点的导数求得的泰勒级数又叫做迈克劳林级数，以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。 泰勒级数在近似计算中有重要作用。
概述
定义：如果
在点x=x0具有任意阶导数，则幂级数
称为
在点x0处的泰勒级数。
在泰勒公式中，取x0=0，得到的级数
称为麦克劳林级数。函式的麦克劳林级数是x的幂级数，那幺这种展开是唯一的，且必然与的麦克劳林级数一致。
注意：如果的麦克劳林级数在点的某一邻域内收敛，它不一定收敛于f（x）。因此，如果f（x）在某处有各阶导数，则f（x）的麦克劳林级数虽然能算出来，但这个级数能否在某个区域内收敛，以及是否收敛于f（x）还需要进一步验证。
一些函式无法被展开为泰勒级数，因为那里存在一些奇点。但是如果变数x是负指数幂的话，仍然可以将其展开为一个级数。例如
，就可以被展开为一个洛朗级数。
定理
定理一
定理二
如果在区间
能展开成泰勒级数
则右端的幂级数是惟一的。
作用
泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：
- 幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函式相对比较容易。
- 一个解析函式可被延伸为一个定义在複平面上的一个开区域上的泰勒级数通过解析延拓得到的函式，并使得複分析这种手法可行。
- 泰勒级数可以用来近似计算函式的值。
对于一些无穷可微函式f(x) 虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f(x)。例如，分段函式，当 x ≠ 0 且 f(0) = 0 ，则当x = 0所有的导数都为零，所以这个f(x)的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，虽然这个函式 f 仅在 x = 0 处为零。而这个问题在複变函数内并不成立，因为当 z 沿虚轴趋于零时
并不趋于零。
泰勒级数
泰勒级数一些函式无法被展开为泰勒级数是因为那里存在一些奇点。但是如果变数x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，就可以被展开为一个洛朗级数。
基本原理：多项式的k重不可约因式是其微商的k-1重不可约因式；
基本思想：通过係数为微商的多项式来研究任意函式的性质（本科主
要是收敛性)
发展简史
希腊哲学家芝诺 （Zeno of Elea）在考虑了利用无穷级数求和来得到有限结果的问题，得出不可能的结论 -芝诺悖论。后来，亚里士多德相对于芝诺悖论提出了一个哲学的决议，但显然此部分数学内容没有得到解决直到被德谟克利特接手以及后来的阿基米德。 正是用了阿基米德的穷举法才使得一个无穷级数被逐步的细分，实现了有限的结果。
Brook Taylor
Brook Taylor进入14世纪，Mādhava of Sañgamāgrama最早使用了泰勒级数以及相关的方法。虽然没有保留他的工作记录，但后来印度数学家的着作表明他发现了一些特殊的泰勒级数，这些级数包括正弦，余弦，正切，和反正切三角函式等等。之后，喀拉拉邦的天文与数学学校在他的基础上进行了一系列的延伸与合理逼近，一直持续到16世纪。
到了17世纪，詹姆斯格雷戈 （James Gregory）同样继续着这方面的研究并且发表了若干麦克劳林级数。没到1715年，布鲁克泰勒 （Brook Taylor） 提出了一个常用的方法来构建这一系列级数并适用于所有函式。这就是后来被人们所熟知的泰勒级数。 麦克劳林级数是以爱丁堡大学教授麦克劳林来命名的。他在18世纪发表了泰勒级数的特例。
常见的麦克劳林级数
下面给出几个常见函式在x=0处的泰勒级数，即麦克劳林级数。
指数函式：
自然对数：
几何级数：
正弦函式：
余弦函式：
正切函式: 