十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化準备了条件。

二十世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的着作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲开创了“希尔伯特空间”的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。

由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、几何的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以套用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。

非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函式用几何学的语言解释成多维空间的影响。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。

这时候，函式概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函式概念是指两个数集之间所建立的一种对应关係。现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关係。这里我们先介绍一下运算元的概念。运算元也叫算符，在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做运算元。研究无限维线性空间上的泛函式和运算元理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。

简单的说， 泛函就是定义域是一个函式集，而值域是实数集或者实数集的一个子集，推广开来， 泛函就是从任意的向量空间到标量的映射。也就是说，它是从函式空间到数域的映射。

设{y}是给定的函式集，如果对于这个函式集中任一函式y(x) 恆有某个确定的数与之对应，记为П(y(x))，则П(y(x))是定义于集合{y(x)}上的一个泛函。

泛函定义域内的函式为可取函式或容许函式， y(x) 称为泛函П的变数函式。

泛函П(y(x))与可取函式y(x)有明确的对应关係。泛函的值是由一条可取曲线的整体性质决定的。

泛函也是一种“函式”，它的独立变数一般不是通常函式的“自变数”，而是通常函式本身。泛函是函式的函式。由于函式的值是由自变数的选取而确定的，而泛函的值是由自变数函式确定的，故也可以将其理解为函式的函式

泛函的自变数是函式，泛函的自变数称为宗量。

简言之，泛函就是函式的函式。

如果连续泛函满足下列条件：

其中C为任意常数，就称之为线性泛函。

如果连续泛函满足下列条件：

且

就称之为二次性泛函。

泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函式可以看作是“函式空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函式空间。

泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。

正如研究有穷自由度系统要求 n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因此，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。

泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函式论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函式、运算元、和极限理论。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。

半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如运算元谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函式论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、机率论、函式论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最最佳化理论等学科中都有重要的套用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。

泛函分析在数学物理方程、机率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的套用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的套用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。

泛函分析是研究无限维抽象空间及其分析的学科。它是现代数学中发生根本性转折的最明显的表现。这种转折，堪与世纪把变数引入数学而导致微积分的产生相比拟。它概括了经典数学分析的重要概念和方法，又渗入量子物理学、现代工程技术和现代力学的营养。它综合运用分析的、代数的、几何的方法，研究分析数学、现代物理和现代工程技术中的许多问题。它的特点是探求一般性和统一性，这也是世纪数学的特徵之一。它不是孤立的考察各个函式以及联繫它们的关係和方程，而是把这些对象作为一个总体来研究，即研究函式空间和它们的变换，而古典分析是研究实数集合或複数集合上的函式的性质。泛函分析具有高度抽象的方法，即能把初看起来相距甚远的问题十分巧妙的统一起来进行研究。

泛函分析有力的推动了其他分析分支的发展，使整个分析领域的面貌发生了巨大变化。同时，对几何和拓扑也产生了重大影响。泛函分析的观点与方法还广泛渗透到其他科学与工程技术领域，泛函分析已经而且正在套用到广义矩量问题、统计力学、偏微分方程的存在唯一性定理以及不动点定理。泛函分析现在在变分法和连续紧群的表示论中都起着作用。它的内容还包含在代数、近似算法、拓扑和实变函式论中。