泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函式构成的空间。泛函分析是由对函式的变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函式的函式。巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家维多·沃尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛套用有重要贡献。

泛函分析所研究的大部分空间都是无穷维的。为了证明无穷维向量空间存在一组基，必须要使用佐恩引理（Zorn's Lemma）。此外，泛函分析中大部分重要定理都构建与罕-巴拿赫定理的基础之上，而该定理本身就是选择公理（Axiom of Choice）弱于布伦素理想定理（Boolean prime ideal theorem）的一个形式。

十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化準备了条件。这时候，函式概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函式概念是指两个数集之间所建立的一种对应关係。现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关係。

由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以套用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。

非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函式用几何学的语言解释成多维空间的映像。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。

20世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的着作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。研究无限维线性空间上的泛函式和运算元理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。

泛函分析目前包括以下分支：

软分析（soft analysis），其目标是将数学分析用拓扑群、拓扑环和拓扑向量空间的语言表述。

巴拿赫空间的几何结构，以Jean Bourgain的一系列工作为代表。

非交换几何，此方向的主要贡献者包括Alain Connes，其部分工作是以George Mackey的遍历论中的结果为基础的。

与量子力学相关的理论，狭义上被称为数学物理，从更广义的角度来看，如按照Israel Gelfand所述，其包含表示论的大部分类型的问题。

由于泛函分析源自研究各种函式空间，在函式空间里函式列的收敛有不同的类型（譬如逐点收敛，一致收敛，弱收敛等等），这说明函式空间里有不同的拓扑。而函式空间一般是无穷维线性空间。所以抽象的泛函分析研究的是一般的（无穷维的）带有一定拓扑的线性空间。

拓扑线性空间的定义就是一个带有拓扑结构的线性空间，使得线性空间的加法和数乘都是连续映射的空间。

这是最常见，套用最广的一类拓扑线性空间。比如有限闭区间上的连续函式空间，有限闭区间上的k次可微函式空间。或者对于每个实数p，如果p ≥ 1，一个巴拿赫空间的例子是“所有绝对值的p次方的积分收敛的勒贝格可测函式”所构成的空间。

在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。

微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分运算元作用于其上的所有函式，一个函式在给定点的微分是一个连续线性映射。

希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性运算元即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的运算元，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。

在具体的函式空间上，我们有对函式的各种各样的操作。最典型的是对函式求导数的操作。这样的操作一般叫做运算元。作为一个拓扑空间之间的映射，我们总可以要求运算元是连续映射。对拓扑线性空间上的运算元的研究构成了泛函分析的一个很大的分支领域。

最基本的运算元是保持拓扑线性空间结构的运算元，称作线性运算元。如果像空间是拓扑线性空间所在的数域（特别的，一个一维拓扑线性空间）那幺这样的运算元成为线性泛函。

线上性运算元的理论中有几个非常基本而重要的定理。

1.一致有界定理（亦称共鸣定理），该定理描述一族有界运算元的性质。

2.罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem）研究了如何将一个运算元保範数地从一个子空间延拓到整个空间。另一个相关结果是对偶空间的非平凡性。

3.开映射定理和闭图像定理。

4.谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规运算元的一个积分表达，该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用。

更一般的我们会遇到非线性的运算元。最简单的例子就是各种函式空间上不同的能量泛函。非线性的运算元在微分几何和微分方程理论中都扮演重要的角色，比如极小曲面就是能量泛函的极小点。

泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函式可以看作是“函式空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函式空间。

泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。

正如研究有穷自由度系统要求 n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因此，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。

泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函式论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函式、运算元、和极限理论。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。

半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如运算元谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函式论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、机率论、函式论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最最佳化理论等学科中都有重要的套用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。

泛函分析在数学物理方程、机率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的套用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的套用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。