求根分解法(factoring method of finding a root)是多项式因式分解的一种方法，指用求多项式的根分离出多项式的一次因式的方法。若多项式f(x)的一个根为x=a，则多项式就含有一次因式x-a，于是f(x)=(x-a)g(x)。例如用综合除法和余数定理可求得多项式f(x)=x3+11x2+39x+45的有理二重根为x=-3，有理单根为x=-5，故可将f(x)在有理数域上分解为f(x)=(x+3)2(x+5)。求根分解法常与其他方法结合使用，例如用求根分解法将f(x)在域P上分解为f(x)=(x-a)g(x)后，若g(x)在P上是可约的，则可用其他方法继续分解g(x)(当然也可仍用求根分解法)，直至将其分解成P上不可约多项式的乘积。求根分解法的关键是在指定数集内求多项式的根，利用求根公式是求根的方法之一，对一元二次、三次和四次多项式在複数域和实数域上分解因式时，可直接利用求根公式求多项式的根；但由于五次以上多项式无求根公式，因而可以肯定：在複数域或实数域上不能直接利用求根公式分解五次以上的多项式。
基本介绍
- 中文名：求根分解法
- 外文名：factoring method of finding a root
- 所属学科：数学
- 所属问题：初等代数(代数式)
- 简介：多项式因式分解的一种方法
基本介绍
我们知道，多项式f(x)除以x-a的余数内零，那幺,f(x)就能被x-a整除，即x-a就是f(x)的一个因式，反之，亦成立，因此，由余数定理易得如下着名定理。
因式定理 如果f(a)=0，那幺，(x-a)是f(x)的一个因式、反之，如果(x-a)是f(x)的一个因式，那幺，f(a)=0，这里f(a)表x=a时，f(x)的值。
这个定理给出了求多项式的一次因式的一个办法——求根分解法、即只要a是f(x)的一个根（f(x)的根即指方程f(x)=0的根），则(x-a)就是f(x)的一个因式。如何求f(x)=0的根呢?当f(x)的次数大于2时，求f(x)=0的根也不是一件容易的事(中学教材里只讲求一元一次、二次方程的根)，下面介绍一个定理可帮助我们部分解决这个问题。
定理： 如果整係数多项式
这个定理不但为我们找这类方程的根提供了理论依据，而且大大缩小了找根的範围，例如，要求
的根，我们只需去判定8的约数±1，±2，±4，±8是否是根就行了(不会再有其他有理数根出现),，经试算知，f(±1)=0，f(2)=0，f(-4)=0，所以，f(x)=0有四个根x=±1，2，-4，从而有因式分解：
例题解析
【例1】分解因式
。
法1 ∵4的约数有±1，±2，±4，试算知f(±1)=0，f(4)=0，
∴f(x)有因式(x-1)(x+1)(x-4)(=x3－4x2－x+4)，再用长除法知f(x)÷(x3－4x2－x+4)=(x+1)，故
法2 ∵ f(1)=0，则知 f(x)有因式(x－1)，于是我们可以按此要求(即可提一个公因式(x－1))来拆项、分组,有
由此解法可知，拆项、分组的原则是“求根分解法”.它使拆项、分组方法有了“规律”。
由法1、法2、结合“根”、“长除法”、“综合除法”、“拆项分组”、可以演変出多种不同的分解形式，这里就不一一列举。
在求根时，要特别注意±1是否是根:①如果多项式f(x)中各项係数之和等于零,则1是f(x)的根；②如果f(x)的奇次项係数之和等于偶次项係数之和，则-1是f(x)的根，这两个结论常用，要记住。