在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如下形式的方程：

欧拉

ax²D²y+bxDy+cy=f(x)

其中a、b、c是常数，这是一个二阶变係数线性微分方程。它的係数具有一定的规律：二阶导数D²y的係数是二次函式ax²，一阶导数Dy的係数是一次函式bx，y的係数是常数。这样的方程称为欧拉方程。

例如：(x²D²-xD+1)y=0,(x²D²-2xD+2)y=2x³-x等都是欧拉方程。化学中足球烯即C-60和此方程有关。

欧拉方程是泛函极值条件的微分表达式，求解泛函的欧拉方程，即可得到使泛函取极值的驻函式，将变分问题转化为微分问题。

（1） 最简单的欧拉方程是：

设函式F(x,y,y') 是三个变数的连续函式，且点(x,y)位于有界闭区域B内，则对形如的变分，若其满足以下条件：

c) 在有界闭区域B记忆体在某条特定曲线y(x) ，使泛函取极值，且此曲线具有二阶连续导数。

则函式y、(x) 满足微分方程：

上式即为泛函Q[y]的欧拉方程。

（2）含有自变函式高阶导数的泛函的欧拉方程

一般来说，对于下述泛函：

在类似条件下，可以得到对应的欧拉方程为：

（3）含有多个自变函式的泛函的欧拉方程

对于下述泛函：

其欧拉方程组为：

（4）多元函式的泛函及其欧拉方程

此处仅考虑二元函式的情况，对如下所示多元函式的泛函：

其欧拉方程为：

在物理学上，欧拉方程统治刚体的转动，可以选取相对于惯量的主轴坐标为体坐标轴系，这使得计算得以简化，因为我们如今可以将角动量的变化分成分别描述的大小变化和方向变化的部分，并进一步将惯量对角化。

在流体动力学中，欧拉方程是一组支配无粘性流体运动的方程，以莱昂哈德·欧拉命名。方程组各方程分别代表质量守恆（连续性）、动量守恆及能量守恆，对应零粘性及无热传导项的纳维－斯托克斯方程。

历史上，只有连续性及动量方程是由欧拉所推导的。然而，流体动力学的文献常把全组方程——包括能量方程——称为“欧拉方程”。跟纳维－斯托克斯方程一样，欧拉方程一般有两种写法：“守恆形式”及“非守恆形式”。守恆形式强调物理解释，即方程是通过一空间中某固定体积的守恆定律；而非守恆形式则强调该体积跟流体运动时的变化状态。

欧拉方程可被用于可压缩性流体，同时也可被用于非压缩性流体——这时应使用适当的状态方程，或假设流速的散度为零。本条目假设经典力学适用；当可压缩流的速度接近光速时，详见相对论性欧拉方程。

如下图