在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理 ，它于 1640年由 Descartes首先给出证明 ，后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其 为 Descartes定理。
R+ V- E= 2就是欧拉公式。
基本介绍
- 中文名：欧拉公式
- 外文名：Euler's formula
- 别称：欧拉方程
- 表达式：R+ V- E= 2
- 提出者：莱昂哈德·欧拉
- 提出时间：1752
- 套用学科：数学、物理
- 适用领域範围：複数，三角形，拓扑学
定义
这三个公式分别为其省略余项的麦克劳林公式，其中麦克劳林公式为泰勒公式的一种特殊形式
在
的展开式中把x换成±ix.
所以
由此：
这个恆等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联繫到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π；两个单位：虚数单位i和自然数的单位1；以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”。
证明
用数学归纳法证明
( 1)当 R= 2时 ，由说明 1,这两个区域可想像为 以赤道为边界的两个半球面 ，赤道上有两个“顶点” 将赤道分成两条“边界”，即 R= 2，V= 2，E= 2；于是 R+ V- E= 2,欧拉定理成立.。
( 2)设 R= m(m≥ 2)时欧拉定理成立 ，下面证明 R= m+ 1时欧拉定理也成立 。
由说明 2，我们在 R= m+ 1的地图上任选一个 区域 X ,则 X 必有与它如此相邻的区域 Y ，使得在 去掉 X 和 Y 之间的唯一一条边界后 ，地图上只有 m 个区域了；在去掉 X 和 Y 之间的边界后 ，若原该边界两端 的顶点现在都还是 3条或 3条以上边界的顶点 ，则 该顶点保留 ，同时其他的边界数不变;若原该边界一 端或两端的顶点现在成为 2条边界的顶点 ，则去掉 该顶点 ,该顶点两边的两条边界便成为一条边界 。于 是 ,在去掉 X 和 Y之间的唯一一条边界时只有三种 情况：
①减少一个区域和一条边界；
②减少一个区 域、一个顶点和两条边界；
③减少一个区域、两个顶 点和三条边界；
即在去掉 X 和 Y 之间的边界时 ,不 论何种情况都必定有“减少的区域数 + 减少的顶点数 = 减少的边界数”我们将上述过程反过来 (即将 X 和 Y之间去掉的边 界又照原样画上 ) ，就又成为 R= m+ 1的地图了 ，在 这一过程中必然是“增加的区域数 + 增加的顶点数 = 增加的边界数”。
因此 ，若 R= m (m≥2)时欧拉定理成立 ，则 R= m+ 1时欧拉定理也成立.。
由 ( 1)和 ( 2)可知 ,对于任何正整数 R≥2,欧拉 定理成立。 .
柯西的证明
第一个欧拉公式的严格证明，由20岁的柯西给出，大致如下：
从多面体去掉一面，通过把去掉的面的边互相拉远，把所有剩下的面变成点和曲线的平面网路。不失一般性，可以假设变形的边继续保持为直线段。正常的面不再是正常的多边形即使开始的时候它们是正常的。但是，点，边和面的个数保持不变，和给定多面体的一样(移去的面对应网路的外部。)
重複一系列可以简化网路却不改变其欧拉数（也是欧拉示性数）
的额外变换。
- 若有一个多边形面有3条边以上，我们划一个对角线。这增加一条边和一个面。继续增加边直到所有面都是三角形。
- 除掉只有一条边和外部相邻的三角形。这把边和面的个数各减一而保持顶点数不变。
- （逐个）除去所有和网路外部共享两条边的三角形。这会减少一个顶点、两条边和一个面。
重複使用第2步和第3步直到只剩一个三角形。对于一个三角形
（把外部数在内）
，
。所以
。
推理证明
构想这个多面体是先有一个面，然后将其他各面一个接一个地添装上去的.因为一共有F个面，因此要添(F-1)个面.
考察第Ⅰ个面，设它是n边形，有n个顶点，n条边，这时E=V，即棱数等于顶点数.
添上第Ⅱ个面后，因为一条棱与原来的棱重合，而且有两个顶点和第Ⅰ个面的两个顶点重合，所以增加的棱数比增加的顶点数多1，因此，这时E=V+1.
以后每增添一个面，总是增加的棱数比增加的顶点数多1，例如
增添两个面后，有关係E=V+2;
增添三个面后，有关係E=V+3;
……
增添(F-2)个面后，有关係E=V+ (F-2).
最后增添一个面后，就成为多面体，这时棱数和顶点数都没有增加.因此，关係式仍为E=V+ (F-2).即
F+V=E+2.
这个公式叫做欧拉公式.它表明2这个数是简单多面体表面在连续变形下不变的数。
分式
当r=0或1时式子的值为0，当r=2时值为1，当r=3时值为a+b+c。
複变函数
把复指数函式与三角函式联繫起来的一个公式，
，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将指数函式的定义域扩大到複数，建立了三角函式和指数函式的关係，它不仅出现在数学分析里，而且在複变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”。
平面几何
设△ABC的外心为O，内心为I，外接圆半径为R，内切圆半径为r，又记外心、内心的距离OI为d，则有
（1）式称为欧拉公式。
为了证明（1）式，我们现将它改成
（2）式左边是点I对于⊙O的幂：过圆内任一点P的弦被P分成两个部分，这两个部分的乘积是一个定值，称为P关于⊙O的幂。事实上，如图3.21，如果将OI延长交圆于E、F，那幺
因此，设AI交⊙O于M，则
因此，只需证明
或写成比例式
为了证明（5）式，应当寻找两个相似的三角形。一个以长IA、r为边；另一个以长2R、MI为边。前一个不难找，图3.21中的△IDA就是，D是内切圆与AC的切点。后一个也必须是直角三角形，所以一边是直径ML，另一个顶点也应当在圆上。△MBL就满足要求。
容易证明
因此（5）式成立，从而（1）式成立。
因为
，所以由欧拉公式得出一个副产品，即
拓扑学
拓扑学又称“连续几何学”。
几何学的一门分科。研究几何图形经过连续形变后仍能保持的性质。包括点集拓扑、代数拓扑、微分拓扑等分支。
在代数拓扑中，欧拉示性数（Euler characteristic）是一个拓扑不变数（事实上，是同伦不变数），对于一大类拓扑空间有定义。它通常记作
。
二维拓扑多面体的欧拉示性数可以用以下公式计算：
其中V、E和F分别是点、边和面的个数。 特别的有，对于所有和一个球面同胚的多面体，我们有
特徵函式用欧拉公式：随机变数X的特徵函式定义为
物理学
众所周知，生活中处处存在着摩擦力，欧拉测算出了摩擦力与绳索缠绕在桩上圈数之间的关係。现将欧拉这个颇有价值的公式列在这里：
其中，f表示我们施加的力，F表示与其对抗的力，e为自然对数的底，k表示绳与桩之间的摩擦係数，a表示缠绕转角，即绳索缠绕形成的弧长与弧半径之比。