次导数、次切线和次微分的概念出现在凸分析，也就是凸函式的研究中。
设f:I→R是一个实变数凸函式，定义在实数轴上的开区间内。这种函式不一定是处处可导的，例如绝对值函式f(x)=|x|。但是，从右面的图中可以看出（也可以严格地证明），对于定义域中的任何x0，我们总可以作出一条直线，它通过点(x0, f(x0))，并且要幺接触f的图像，要幺在它的下方。这条直线的斜率称为函式的次导数。
基本介绍
- 中文名：次导数
- 外文名：subderivative
- 适用範围：数理科学
定义
凸函式f:I→R在点x0的次导数，是实数c使得：
，对于所有I内的x。我们可以证明，在点x0的次导数的集合是一个非空闭区间[a,b]，其中a和b是单侧极限，
，它们一定存在，且满足a≤b。所有次导数的集合[a,b]称为函式f在x0的次微分。
例子
考虑凸函式f(x)=|x|。在原点的次导数是区间[−1, 1]。x0<0时，次导数是单元素集合{-1}，而x0>0，则是单元素集合{1}。
性质
- 凸函式f:I→R在x0可导，若且唯若次微分只由一个点组成，这个点就是函式在x0的导数。
- 点x0是凸函式f的最小值，若且唯若次微分中包含零，也就是说，在上面的图中，我们可以作一条水平的“次切线”。这个性质是“可导函式在极小值的导数是零”的事实的推广。
几何意义
导数的几何意义是函式图像上对应点的切线的斜率；而次导数的几何意义是函式上图在对应点的支撑直线（一维支撑超平面）的斜率。
次梯度
次导数和次微分的概念可以推广到多元函式。如果f:U→R是一个实变数凸函式，定义在欧几里得空间R内的凸集，则该空间内的向量v称为函式在点x0的次梯度，如果对于所有U内的x，都有：
，所有次梯度的集合称为次微分，记为∂f(x0)。次微分总是非空的凸紧集。