树状图是一种数据结构，它是由n（n>=1）个有限结点组成一个具有层次关係的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
每个结点有零个或多个子结点；没有父结点的结点称为根结点；每一个非根结点有且只有一个父结点；除了根结点外，每个子结点可以分为多个不相交的子树；
基本介绍
- 中文名：树
- 外文名：tree
- 数据结构：基本数据结构的一种
定义
树（tree）是包含n（n>=0）个结点的有穷集，其中：
（1）每个元素称为结点（node）；
（2）有一个特定的结点被称为根结点或树根（root）。
（3）除根结点之外的其余数据元素被分为m（m≥0）个互不相交的集合T1，T2，……Tm-1，其中每一个集合Ti（1<=i<=m）本身也是一棵树，被称作原树的子树（subtree）。
树也可以这样定义：树是由根结点和若干颗子树构成的。树是由一个集合以及在该集合上定义的一种关係构成的。集合中的元素称为树的结点，所定义的关係称为父子关係。父子关係在树的结点之间建立了一个层次结构。在这种层次结构中有一个结点具有特殊的地位，这个结点称为该树的根结点，或称为树根。
我们可以形式地给出树的递归定义如下:
单个结点是一棵树，树根就是该结点本身。
设T1,T2,..,Tk是树，它们的根结点分别为n1,n2,..,nk。用一个新结点n作为n1,n2,..,nk的父亲，则得到一棵新树，结点n就是新树的根。我们称n1,n2,..,nk为一组兄弟结点，它们都是结点n的子结点。我们还称T1,T2,..,Tk为结点n的子树。
空集合也是树，称为空树。空树中没有结点。
相关术语
节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；
非终端节点或分支节点：度不为0的节点；
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次；
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；
种类
无序树：树中任意节点的子结点之间没有顺序关係，这种树称为无序树,也称为自由树;
有序树：树中任意节点的子结点之间有顺序关係，这种树称为有序树；
二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；
完全二叉树
满二叉树
霍夫曼树：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树；
深度
定义一棵树的根结点层次为1，其他节点的层次是其父结点层次加1。一棵树中所有结点的层次的最大值称为这棵树的深度。
表示方法
图像表达法
树的表示方法有很多种，最常用的是图像表示法。
一下是一个普通的树（非二叉树）：
符号表达法
用括弧先将根结点放入一对圆括弧中，然后把它的子树由左至右的顺序放入括弧中，而对子树也採用同样的方法处理；同层子树与它的根结点用圆括弧括起来，同层子树之间用逗号隔开，最后用闭括弧括起来。如前文树形表示法可以表示为：（1（2（5（9，10）），3（6，7），4（8）））
遍历表达法
遍历表达法有3种方法：先序遍历、中序遍历、后序遍历
例如右图：
其先序遍历为ABDECF
其中序遍历为DBEAFC
其后序遍历为DEBFCA
具体请参照参考资料
其他
关于二叉树的其他知识请参照参考资料。
父节点表示法
存储结构
/* 树节点的定义 */#define MAX_TREE_SIZE 100typedef struct{ TElemType data; int parent; /* 父节点位置域 */} PTNode;typedef struct{ PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE]; int n; /* 节点数 */} PTree;基本操作
设已有链伫列类型LinkQueue的定义及基本操作（参见伫列）。
构造空树
清空或销毁一个树也是同样的操作
void ClearTree(PTree *T){ T->n = 0;}构造树
void CreateTree(PTree *T){ LinkQueue q; QElemType p,qq; int i=1,j,l; char c[MAX_TREE_SIZE]; /* 临时存放孩子节点数组 */ InitQueue(&q); /* 初始化伫列 */ printf("请输入根节点(字元型，空格为空): "); scanf("%c%*c",&T->nodes[0].data); /* 根节点序号为0，%*c吃掉回车符 */ if(T->nodes[0].data!=Nil) /* 非空树 */ { T->nodes[0].parent=-1; /* 根节点无父节点 */ qq.name=T->nodes[0].data; qq.num=0; EnQueue(&q,qq); /* 入队此节点 */ while(i<MAX_TREE_SIZE&&!QueueEmpty(q)) /* 数组未满且队不空 */ { DeQueue(&q,&qq); /* 节点加入伫列 */ printf("请按长幼顺序输入节点%c的所有孩子: ",qq.name); gets(c); l=strlen(c); for(j=0;j<l;j++){ T->nodes[i].data=c[j]; T->nodes[i].parent=qq.num; p.name=c[j]; p.num=i; EnQueue(&q,p); /* 入队此节点 */ i++; } } if(i>MAX_TREE_SIZE){ printf("节点数超过数组容量\n"); exit(OVERFLOW); } T->n=i; } else T->n=0; }判断树是否为空
Status TreeEmpty(PTree *T){ /* 初始条件：树T存在。操作结果：若T为空树，则返回TRUE，否则返回FALSE */ return T->n==0;}获取树的深度
int TreeDepth(PTree *T){ /* 初始条件：树T存在。操作结果：返回T的深度 */ int k,m,def,max=0; for(k=0;k<T->n;++k){ def=1; /* 初始化本节点的深度 */ m=T->nodes[k].parent; while(m!=-1){ m=T->nodes[m].parent; def++; } if(max<def) max=def; } return max; /* 最大深度 */}获取根节点TElemType Root(PTree *T){ /* 初始条件：树T存在。操作结果：返回T的根 */ int i; for(i=0;i<T->n;i++) if(T->nodes[i].parent<0) return T->nodes[i].data; return Nil;}获取第i个节点的值
TElemType Value(PTree *T,int i){ /* 初始条件：树T存在，i是树T中节点的序号。操作结果：返回第i个节点的值 */ if(i<T->n) return T->nodes[i].data; else return Nil;}改变节点的值
Status Assign(PTree *T,TElemType cur_e,TElemType value){ /* 初始条件：树T存在，cur_e是树T中节点的值。操作结果：改cur_e为value */ int j; for(j=0;j<T->n;j++) { if(T->nodes[j].data==cur_e) { T->nodes[j].data=value; return OK; } } return ERROR;}获取节点的父节点
TElemType Parent(PTree *T,TElemType cur_e){ /* 初始条件：树T存在，cur_e是T中某个节点 */ /* 操作结果：若cur_e是T的非根节点，则返回它的父节点，否则函式值为"空"*/ int j; for(j=1;j<T->n;j++) /* 根节点序号为0 */ if(T->nodes[j].data==cur_e) return T->nodes[T->nodes[j].parent].data; return Nil;}获取节点的最左孩子节点
TElemType LeftChild(PTree *T,TElemType cur_e){ /* 初始条件：树T存在，cur_e是T中某个节点 */ /* 操作结果：若cur_e是T的非叶子节点，则返回它的最左孩子，否则返回"空"*/ int i,j; for(i=0;i<T->n;i++) if(T->nodes[i].data==cur_e) /* 找到cur_e，其序号为i */ break; for(j=i+1;j<T->n;j++) /* 根据树的构造函式，孩子的序号>其父节点的序号 */ if(T->nodes[j].parent==i) /* 根据树的构造函式，最左孩子(长子)的序号<其它孩子的序号 */ return T->nodes[j].data; return Nil;}获取节点的右兄弟节点
TElemType RightSibling(PTree *T,TElemType cur_e){ /* 初始条件：树T存在，cur_e是T中某个节点 */ /* 操作结果：若cur_e有右(下一个)兄弟，则返回它的右兄弟，否则返回"空"*/ int i; for(i=0;i<T->n;i++) if(T->nodes[i].data==cur_e) /* 找到cur_e，其序号为i */ break; if(T->nodes[i+1].parent==T->nodes[i].parent) /* 根据树的构造函式，若cur_e有右兄弟的话则右兄弟紧接其后 */ return T->nodes[i+1].data; return Nil;}输出树
void Print(PTree *T){ /* 输出树T。加 */ int i; printf("节点个数=%d\n",T->n); printf(" 节点 父节点\n"); for(i=0;i<T->n;i++) { printf(" %c",Value(T,i)); /* 节点 */ if(T->nodes[i].parent>=0) /* 有父节点 */ printf(" %c",Value(T,T->nodes[i].parent)); /* 父节点 */ printf("\n"); }}向树中插入另一棵树
Status InsertChild(PTree *T,TElemType p,int i,PTree c){ /* 初始条件：树T存在，p是T中某个节点，1≤i≤p所指节点的度+1，非空树c与T不相交 */ /* 操作结果：插入c为T中p节点的第i棵子树 */ int j,k,l,f=1,n=0; /* 设交换标誌f的初值为1，p的孩子数n的初值为0 */ PTNode t; if(!TreeEmpty(T)) /* T不空 */ { for(j=0;j<T->n;j++) /* 在T中找p的序号 */ if(T->nodes[j].data==p) /* p的序号为j */ break; l=j+1; /* 如果c是p的第1棵子树，则插在j+1处 */ if(i>1) /* c不是p的第1棵子树 */ { for(k=j+1;k<T->n;k++) /* 从j+1开始找p的前i-1个孩子 */ if(T->nodes[k].parent==j) /* 当前节点是p的孩子 */ { n++; /* 孩子数加1 */ if(n==i-1) /* 找到p的第i-1个孩子，其序号为k1 */ break; } l=k+1; /* c插在k+1处 */ } /* p的序号为j，c插在l处 */ if(l<T->n) /* 插入点l不在最后 */ for(k=T->n-1;k>=l;k--) /* 依次将序号l以后的节点向后移c.n个位置 */ { T->nodes[k+c.n]=T->nodes[k]; if(T->nodes[k].parent>=l) T->nodes[k+c.n].parent+=c.n; } for(k=0;k<c.n;k++) { T->nodes[l+k].data=c.nodes[k].data; /* 依次将树c的所有节点插于此处 */ T->nodes[l+k].parent=c.nodes[k].parent+l; } T->nodes[l].parent=j; /* 树c的根节点的父节点为p */ T->n+=c.n; /* 树T的节点数加c.n个 */ while(f) { /* 从插入点之后，将节点仍按层序排列 */ f=0; /* 交换标誌置0 */ for(j=l;j<T->n-1;j++) if(T->nodes[j].parent>T->nodes[j+1].parent) {/* 如果节点j的父节点排在节点j+1的父节点之后（树没有按层序排列），交换两节点*/ t=T->nodes[j]; T->nodes[j]=T->nodes[j+1]; T->nodes[j+1]=t; f=1; /* 交换标誌置1 */ for(k=j;k<T->n;k++) /* 改变父节点序号 */ if(T->nodes[k].parent==j) T->nodes[k].parent++; /* 父节点序号改为j+1 */ else if(T->nodes[k].parent==j+1) T->nodes[k].parent--; /* 父节点序号改为j */ } } return OK; } else /* 树T不存在 */ return ERROR;}删除子树
Status deleted[MAX_TREE_SIZE+1]; /* 删除标誌数组(全局量) */void DeleteChild(PTree *T,TElemType p,int i){ /* 初始条件：树T存在，p是T中某个节点，1≤i≤p所指节点的度 */ /* 操作结果：删除T中节点p的第i棵子树 */ int j,k,n=0; LinkQueue q; QElemType pq,qq; for(j=0;j<=T->n;j++) deleted[j]=0; /* 置初值为0(不删除标记) */ pq.name='a'; /* 此成员不用 */ InitQueue(&q); /* 初始化伫列 */ for(j=0;j<T->n;j++) if(T->nodes[j].data==p) break; /* j为节点p的序号 */ for(k=j+1;k<T->n;k++) { if(T->nodes[k].parent==j) n++; if(n==i) break; /* k为p的第i棵子树节点的序号 */ } if(k<T->n) /* p的第i棵子树节点存在 */ { n=0; pq.num=k; deleted[k]=1; /* 置删除标记 */ n++; EnQueue(&q,pq); while(!QueueEmpty(q)) { DeQueue(&q,&qq); for(j=qq.num+1;j<T->n;j++) if(T->nodes[j].parent==qq.num) { pq.num=j; deleted[j]=1; /* 置删除标记 */ n++; EnQueue(&q,pq); } } for(j=0;j<T->n;j++) if(deleted[j]==1) { for(k=j+1;k<=T->n;k++) { deleted[k-1]=deleted[k]; T->nodes[k-1]=T->nodes[k]; if(T->nodes[k].parent>j) T->nodes[k-1].parent--; } j--; } T->n-=n; /* n为待删除节点数 */ }}层序遍历树
void TraverseTree(PTree *T,void(*Visit)(TElemType)){ /* 初始条件：二叉树T存在,Visit是对节点操作的套用函式 */ /* 操作结果：层序遍历树T,对每个节点调用函式Visit一次且仅一次 */ int i; for(i=0;i<T->n;i++) Visit(T->nodes[i].data); printf("\n");}孩子鍊表表示法
存储结构
/*树的孩子鍊表存储表示*/typedef struct CTNode { // 孩子节点 int child; struct CTNode *next;} *ChildPtr;typedef struct { ElemType data； // 节点的数据元素 ChildPtr firstchild； // 孩子鍊表头指针} CTBox;typedef struct { CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]； int n, r； // 节点数和根节点的位置} CTree;