函式在某个极小区间内，存在自变数取值x，且存在比其大与比其小的自变数，这些自变数所对应的函式值均小于x对应的函式值。那幺此函式值称为极大值。即若对点x0的某个邻域内所有x都有f(x)≤(f(x0)，则称f在x0具有一个极大值，极大值为f(x0)。“极大”是一个局部性的概念。
基本介绍
- 中文名：极大值
- 外文名：maximum
- 学科：数学
- 属性：局部性概念
- 相关概念：极小值、极值、极值点
- 求法：一阶导数、二阶导数判别法等
定义
一般的，设函式f(x)在点x0附近有定义，
图1
图1（1）如果对x0附近的所有点，都有f(x)<f(x0)，则f(x0)是函式f(x)的一个极大值，如图1所示；
（2）如果对x0附近的所有点，都有f(x)>f(x0)，则f(x0)是函式f(x)的一个极小值，如图2所示；
（3）函式的极大值与极小值统称为极值。(极值即波峰波谷处的值——不一定是最大值或最小值)
（4）使得函式取得极值的点x0称为极值点。使得函式取得极大值的点x0称为极大值点；使得函式取得极小值的点x0称为极小值点。
图2
图2数值区别
极大值和最大值的区别
- 最大值是函式中最大的值，而极大值不是。
- 最大值一定高于函式中其他的值，极大值可以小于极小值。
- 最大值的值只有一个，而极大值的值可以有无限个。
- 最大值的定义区间为函式定义域，极大值可以自定义区间。
注意
需要注意以下几点：
（1）极大值、极小值是一个局部概念。由定义，极大值、极小值只是某个点的函式值与它附近点的函式值比较是最大或最小，并不意味着它在函式的整个的定义域内最大或最小，因此，极大值、极小值不同于最大值、最小值。
（2）函式的极值不是唯一的，即一个函式在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关係，即一个函式的极大值未必大于极小值，极小值也未必小于极大值。
（4）函式的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函式取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
求极大值
对于单变数函式，有如下求极大值的方法。
对于连续可导的函式
（1）一阶导数判别法：
对于可导函式f(x)，判别f(x)是否有极大值的步骤如下：
1）求导数 f′(x)；
2）求 f(x)的驻点，即求 f′(x)=0 的根；
3）检查 f′(x)在驻点左右的符号，如果在驻点左侧附近为正，右侧附近为负，那幺函式y=f(x)有极大值，且在这个驻点处取得极大值；否则，函式f(x)无极大值。
（2）二阶导数判别法（函式二阶可导）
已知f(x)在x0的某邻域上一阶可导，在x0处二阶可导，且f'(X0)=0，f"(x0)≠0，那幺：
1）若f"（x0）<0，则f在x0取得极大值；
2）若f"（x0）>0，则f在x0取得极小值。
对于不连续函式
某些不连续的函式在间断点处无法求导，但仍可能为极大值或极小值，具体情况需具体分析。即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断。 例如：f（x）=|x|在x=0的导数是不可取的。