极值是变分法的一个基本概念。泛函在容许函式的一定範围内取得的最大值或最小值，分别称为极大值或极小值，统称为极值。使泛函达到极值的变元函式称为极值函式，若它为一元函式，通常称为极值曲线。极值也称为相对极值或局部极值。

(Euler equation)

欧拉方程是泛函的极值函式满足的微分方程，假设 F(x,y,y') 关于变元是二次可微的，函式且满足边界条件

那幺泛函

取极值的必要条件是： 是微分方程

或

的解。这个方程称为欧拉方程。

欧拉方程的积分曲线称为极值曲线。对于形如

的泛函，它相应的欧拉方程为

式中

设是欧氏空间中某一区域上的n元实函式，对于，若存在某个．使得所有，满足，则称为在R上的局部极小点(或称相对极小点)，为局部极小值。若对于所有，且与的距离小于的，有，则称为在R上的严格局部极小点，为严格局部极小值。

设是欧氏空间中某一区域上的n元实函式。若点对于所有，都有，则称为在上的全局极小点，称为全局极小值。若对于所有，且，都有则称为在R上的严格全局极小点，为严格全局极小值。

对于极大点与极大值，不难仿上给出相应定义。