以速度场为例

1. 流量与环量 设流体在z 平面上某一区域D 内流动,

v( z) = p + qi 是在点z∈D 处的流速, 其中p = p ( x, y), q =q( x, y)分别为v( z)的水平及垂直分速,并且假设它们都是连续的.

今考查流体在单位时间内流过以A 为起点, B 为终点的有向

曲线γ(图 3.17)一侧的流量(实际上是流体层的质量).为此取弧 元 ds, n 为其单位法向量,它指向曲线 γ的右边(顺着 A 到 B 的 方向看).显然,在单位时间内流过ds 的流量为vn ds( vn 是v 在n

上的投影),再乘上流体层的厚度以及流体的密度(取厚度为一个

单位长,密度为1).因此,这个流量的值就是

vn ds 131 ·

这里dε为切向量dz = dx + idy 之长.当v 与n 夹锐角时,流量

vn ds 为正;夹钝角时为负.

令

τ=dx/ds+ idy/ds

是顺 γ正向的单位切向量.故 n 恰好可由τ旋转 - π2

得到,即

n = e^-π/2i τ= 积分- i τ=dy/ds- idx/ds

.

于是即得v 在n 上的投影为

vn = v·n = pdyds- qdxds

.以Nγ 表示单位时间内流过γ的流量,则

Nγ =∫γpdyds- qdxdsds =∫γ- qdx + pdy.

在流体力学中,还有一个重要的概念,即流速的环量.它定义 为:流速在曲线γ上的切线分速,沿着该曲线的积分,以Γγ 表示.

于是Γγ =∫γpdxds+ qdydsds =∫γpd x + qdy.

我们可以藉助于复积分来表示环量和流量.为此,我们以

i 乘Nγ,再与Γγ 相加即得

Γγ + iNγ =∫ γ

pd x + qdy + i∫γ

- qd x + pdy

=∫γ

( p - qi)( d x + idy)

即Γγ + iNγ =∫γ

v( z) dz.

令f( z) = φ( x, y) + iψ( x, y)

w=φ + iψ为某一流动的复势. 我们称 φ( x, y)为所述流动的势函式, 称 φ( x, y) = k( k 为实常数)为势线;称 ψ( x, y)为所述流动的流函 数,称 ψ( x, y) = k( k 为实常数)为流线.

因

φx + iψx = f′( z) = v( z) = p - iq,

所以

p = φx = ψy , q = - ψx = φy . ( C. - R.)

又因流线上点z( x, y)的速度方向与该点的切线方向一致,即流

线的微分方程为

dx/p=dy/q,

即ψx dx + ψy dy = 0.

而ψ( x, y)为调和函式,我们有ψyx = ψxy ,于是

dψ( x, y) = 0

所以ψ( x, y) = k 就是流线方程的积分曲线.

流线与势线在流速不为零的点处互相正交(根据例2.10).

我们用复势来刻划流动比用复速度方便.因为由复势求复速

度只用到求导数,反之则要用积分.另一方面,由复势容易求流线

和势线,这样就可以了解流动的概况.