给定任意集合A和B，若，则称R为从A到B的二元关係，特别在A=B时，称R为A上的二元关係．可见，R是有序对的集合．若，则也表示为，即

若，则称R为A到B上空关係；若R=A×B，称R为A到B上全域关係．特别当A=B时，称为A上空关係，称R=AXA为A上的全域关係．称为A上的恆等关係，记为．

令，且

则称D(R)、R(R)和F(R)分别是二元关係R的定义域、值域和域。

显然。

关係是有序对的集合，对它可进行集合运算，其结果也是有序对的集合，即也是某一种二元关係。令R和S是两个二元关係，则和R'都分别定义了某一种二元关係，并且可表示成：

表达从有穷集合到有穷集合的二元关係时，矩阵和有向图都是得力的工具。

定义 给集合和，且．若则称矩阵为R的关係矩阵。

当给定关係R，可求出关係矩阵；反之，若给出关係矩阵，也能求出关係R。

集合A上的二元关係R也可用有向图表示．具体方法是：用小圆圈表示A中的元素，小圆圈称为图的结点，把对应于元素和的结点分别标记和若，则用弧线段或直线段把和连线起来，并在弧线或直线上设定一箭头，使之由指向；若，则在结点上画一条带箭头的自封闭曲线或有向环，称这样的弧线或封闭曲线为弧或有向环，这样得到的有向图叫做关係R的图示，简称关係图，记为。

关係的性质是指集合中二元关係的性质，这些性质扮演着重要角色，下面将定义这些性质。并给出它的关係矩阵和关係图的特点。

自反 令，若对A中每个x，都有，则称R是自反的，即A上关係R是自反的。

在全集U中所有子集的集合中，包含关係是自反的，相等关係=也是自反的；但是，真包含关係不是自反的，整数集合Z中，关係≤是自反的，而关係<不是自反的。

反自反 令，若对于A中每个x，有，则称R是反自反的，即A上关係R是反自反的。

该定义表明了，一个反自反的关係R中，不应包括有任何相同元素的有序对，由定义说明中可知真包含关係是反自反的，但包含关係不是反自反的；小于关係<是反自反的，而≤不是反自反的。

应该指出，任何一个不是自反的关係，未必是反自反的；反之，任何一个不是反自反的关係，未必是自反的，这就是说，存在既不是自反的也不是反自反的二元关係。

对称 令，对于A中每个x和y，若xRy，则yRx，称R是对称的，即A上关係R是对称的。

该定义表明了，在表示对称的关係R的有序对集合中，若有有序对，则必定还会有有序对。

在全集U的所有子集的集合中，相等关係是对称的，包含关係和真包含关係都不是对称的；在整数集合Z中，相等关係=是对称的，而关係≤和<都不是对称的。

反对称 令，对于A中每个x和y，若xRy且yRx，则x=y，称R是反对称的，即A上关係R是反对称的。

该定义表明了，在表示反对称关係R的有序对集合中，若存在有序对和，则必定是x=y，或者说，在R中若有有序对，则除非x=y，否则必定不会出现。

在全集U的所有子集的集合中，相等关係=，包含关係和真包含关係都是反对称的，但全域关係不是反对称的．在整数集合Z中，=，≤和<也都是反对称的。

可见，有些关係既是对称的，又是反对称的，如相等关係；有些关係是对称的，但不是反对称的，如Z中的“绝对值相等”；有些关係是反对称的，但不是对称的，如Z中的≤和<；还有的关係既不是对称的，又不是反对称的，例如，A={a，c，b}中．

传递 令，对于A中每个x，y，z，若xRy且yRx，则xRz，称R是传递的，即A上关係R是传递的

该定义表明了，在表示可传递关係R的有序对集合中，若有有序对和，则必有有序对。

显然，上述提到的关係中，，=和≤，<，=都是传递的，在直线的集合中，平行关係是传递的，但垂直关係不是传递的。

通过上面几个实例，看出：

①若A上关係R是自反的，则中主对角线上元素全为1，而中每个结点有有向环；反之亦然；

②若A上关係R是反自反的，则中主对角线上元素全为0，而中每个结点无有向环；反之亦然；

③若A上关係R是对称的，则是对称矩阵，而中任何两结点若有弧，弧必成对出现；反之亦然；

④若A上关係R是反对称的，则中主对角线元素不能同时为1，而中若两结点间有弧，弧不能成对出现；反之亦然；

⑤若A上关係R是传递的，则中若，则，而中若有弧和，则必有弧；反之亦然。

此外，还有：

①任何集合上的相等关係=是自反的,对称的、反对称的和传递的，但不是反自反的。

②整数集合Z中，关係≤是自反的、反对称的和传递的，但不是反自反的和对称的，关係<是反自反的、反对称的和传递的，但不是自反的和对称的。

③非空集合上的空关係是反自反的、对称的、反对称的和传递的，但不是自反的，空集合上的空关係则是自反的、反自反的、对称的、反对称的和传递的。

④非空集合上的全域关係是自反的、对称的和传递的，但不是反自反的和反对称的。

定理 设，若R是反自反的和传递的，则R是反对称的。