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文氏图

(2020-04-01 10:43:24) 百科
文氏图

文氏图

文氏图(英语:Venn diagram),或译Venn图温氏图维恩图范氏图,是在所谓的集合论(或者类的理论)数学分支中,在不太严格的意义下用以表示集合(或类)的一种草图。

基本介绍

  • 中文名:文氏图
  • 外文名:Venn diagram
  • 别名:维恩图
  • 创作时间:1880年
  • 提出者:维恩
  • 用途:显示元素集合重叠区域的图示

定义

文氏图(英语:Venn diagram),或译Venn图温氏图维恩图范氏图,是在所谓的集合论(或者类的理论)数学分支中,在不太严格的意义下用以表示集合(或类)的一种草图。它们用于展示在不同的事物群组(集合)之间的数学或逻辑联繫,尤其适合用来表示集合(或)类之间的“大致关係”,它也常常被用来帮助推导(或理解推导过程)关于集合运算(或类运算)的一些规律。

起源

John Venn 是十九世纪英国的哲学家和数学家,他在 1881年发明了文氏图。在剑桥大学的 Caius 学院的彩色玻璃窗上有对他的这个发明的纪念。

例子

在文氏图法中,如果有论域,则以一个矩形框(的内部区域)表示论域;各个集合(或类)就以圆/椭圆(的内部区域)来表示。两个圆/椭圆相交,其相交部分表示两个集合(或类)的公共元素,两个圆/椭圆不相交(相离或相切,而实际上在文氏图中相切是没有什幺意义的,因为文氏图是以图形的内部区域来表示的)则说明这两个集合(或类)没有公共元素。
图1.集合A, B和C的文氏图图1.集合A, B和C的文氏图
比如黄色的圆圈(集合A)可以表示两足的所有活物。蓝色的圆圈(集合B)可以表示会飞的所有活物。黄色和蓝色的圆圈交叠的区域(叫做交集)包含会飞两足的所有活物──比如鹦鹉。(把每个单独的活物类型想像为在这个图中的某个点)。
人和企鹅会在橙色圆圈中不与蓝色圆圈交叠的部分中。蚊子有六足并且会飞,所以蚊子的点可以在蓝色圆圈中不与橙色圆圈交叠的部分中。不是两足并且不会飞的东西(比如鲸和响尾蛇)可以表示为在这两个圆圈之外的点。在技术上,上面的文氏图可以解释为"集合A和集合B之间的联繫,它们可以有一些(但不是全部)的元素是公共的"。
集合AB的组合区域叫做集合AB的并集。在这个个例中并集包含要幺两足、要幺会飞、要幺两足并且会飞的所有东西。圆圈交叠暗示着两个集合的交集非空──就是说在事实上活物同时在黄色和蓝色圆圈中。
文氏图与其它的图示法一样,它不能準确表示一个集合(或类)中到底有哪些元素。
图2.集合A和B图2.集合A和B
有时在文氏图在外面绘製一个方框(叫做全集)来展示所有可能事物的空间。如上提及到的,鲸可以表示为不在并集中但在(活物或所有事物,依赖于你如何选择对特定图的全集的定义)全集中一个点。

类似的图

欧拉图可能在外观上同文氏图是一致的。它们之间的区别只在于它们的套用领域中,就是说在被分割的全集的类型中。欧拉图展示对象的特定集合,文氏图的概念更一般的适用于可能的联繫。文氏图和欧拉图没有合併的原因可能是,欧拉的版本是早在100多年前就出现了的,欧拉已经有了足够多的成就了,而Venn只留下了这幺一个图。
在欧拉图和文氏图之间的区别只是在想法上,欧拉图要展示特定集合之间的联繫,而文氏图要包含所有可能的组合。下面是欧拉图的一个例子:
在这个例子中,一个集合完全在另一个集合内部。我们说集合A是在世界中能找到的所有的不同类型的乳酪,集合B是在世界中能找到的所有食物。从这个图中,你可以看出所有乳酪都是食物,但是不是所有食物都是乳酪。进一步的说,集合C(比如说金属造物)与集合B没有公共元素(集合的成员),从此我们可以在逻辑上断言没有乳酪是金属造物(或者反过来说)。在形式上,上述的图可以在数学上解释为"集合A是集合B的真子集,而集合C和集合B没有公共元素"。
图3.集合A, B和C图3.集合A, B和C
或解释为一个三段论
  • 所有As是Bs
  • 没有Cs是Bs
  • 所以,没有Cs是As
  • 所以,没有As是Cs。

扩展

历来有许多把文氏图推广到多个集合的尝试。Venn使用椭圆达到了四个集合但从未满意他的五集合解法。在一个世纪之后,才找到了一种能满足Venn关于对称性的非正式要求。

在大众文化中

在美国电视剧生活大爆炸(The Big Bang Theory)S1E14中,Leonard不小心买下了巨型时光机,他纳闷道:谁会用800元就卖出一台全尺寸的时间机器? Sheldon回答:在文氏图中,那是位于“不再想要时间机器”和“需要800元”两个集合的交接区域。

参见

  • 布林代数
  • 卡诺图
  • 图形组织器
  • 米尼佛夫人问题
  • 与文氏图类似的欧拉图
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